matzapiski.si

polinomi matzapiski.si

MATURITETNI VODNIK DO MATURE
#5  POLINOMI
Klikni na levo slikco in predelaj polinome ;)

 

Prijavi se na MATURITETNI VODNIK!
Dvakrat tedensko prejmeš mejl za novo snov, tako da bomo pravočasno predelali snov do mature ;) 
 
PrijaviSe MaturitetneNovicke

 

crte

15 POLINOMI

vKnjigi

 

 

 

     

POLINOMI

V tretjem letniku ste obravnavali snov polinomi (veččleniki). O polinomih govorimo, ko so potence na x tri, štiri ali več (to je stopnja polinoma). Graf polinoma izgleda lahko kot dvogrba kamela - obrnjena gor ali dol - ali pa kot nekakšna gosenica, enačbe in neenačbe pa imajo višje potence kot 2.

ENAČBI POLINOMA

Enačbo polinoma zapišemo v dveh oblikah - splošni in ničelni (v ničelni obliki lahko enostavno preberemo ničle - to so točke, kjer graf seka abscisno oz. x os).

Pri polinomih hitro ugotovimo, da je zelo malo formul :) 

RISANJE GRAFA POLINOMA

Ko rišemo graf polinoma, moramo izračunati:

  • ničle (tako da polinom enačimo z nič) in
  • začetno vrednost (namesto x vstavimo nič - dobimo točko, kjer graf seka ordinatno oz. y os),
  • dobro pa je, da določimo tudi predznake: na x os vstavimo izračunane ničle, nato na desni strani ugotovimo prvi predznak tako, da pogledamo vodilni koeficient polinoma - to je številka pred vodilnim členom (to je člen, ki ima x z najvišjo potenco). Če je vodilni koeficient pozitiven, je na desni strani znak plus, če je negativen pa je isto na desni strani znak minus. Znak plus pomeni, da začnemo graf risati nad x osjo, znak minus pa, da ga začnemo risati pod x osjo. Ostale znake določimo glede na sodost in lihost ničel: (predznaki so super pri računanju z neenačbami... spodaj poglej, kako računamo polinomske neenačbe)
    •  če je ničla liha (liha ničla pomeni, da se ista ničla pojavi enkrat, trikrat, petkrat...), potem se predznak spremeni
    •  če je ničla soda (soda ničla pomeni, da se ista ničla pojavi dvakrat, štirikrat...), se znak ponovi - ostane enak
  • Ko imaš izračunane ničle, začetno vrednost in določene predznake, lahko narišemo graf polinoma, ki je vedno sklenjena črta, zato so njegovo definicijsko območje vedno vsa realna števila
  • Graf polinoma lahko narišemo tudi brez računanja predznakov, le upoštevajmo vodilni koeficient, torej kje začnemo risati na desni strani, nato pa nadaljujemo z risanjem, da upoštevamo sodost ali lihost ničel.
  • Glede na to, da se pripravljamo na maturo, lahko naloga zahteva tudi, da moramo pri risanju grafa polinoma izračunati še ekstreme polinoma, pa poglejmo, kako jih izračunamo:

KAKO IZRAČUNAMO EKSTREME POLINOMA

    • stacionarne točke (to so možni ekstremi) izračunamo tako, da polinom odvajamo, nato pa dobljeni odvod enačimo z nič
    • dobljeni x-i so abscise stacionarnih točk (to pomeni, da še nimamo cele točke, ampak samo x)
    • potem moramo preveriti ali so dobljeni x-i tudi ekstremi polinoma. To pa lahko ugotovimo na dva načina:
      •  prvi način: ali so dobljeni x-i ekstremi - torej maksimumi ali minimumi polinoma - lahko ugotovimo s predznaki odvoda:
        • kar je enako kot pri predznakih za risanje grafa polinoma, le da tukaj upoštevamo vodilni koeficient odvoda in na x os vstavimo ničle odvoda
        • kjer je plus, tam naš polinom raste (puščice rišemo obvezno iz leve proti desni - glej zapiske v knjigi), kjer je minus, naš polinom pada (kar je zelo uporabno pri določanju območja, kje graf polinoma narašča in kje pada)
        • če dobimo "hribček" potem je tam maksimum, če dobimo "dolinico" potem je tam minimum
        • če je stacionarna točka sode stopnje (da je dvojna, četvorna), potem tam ni ekstrema, torej ni maksimuma niti minimuma
        • za x-e, ki predstavljajo ekstreme, izračunamo še y, tako da x vstavimo v prvotno funkcijo in zapišemo točko
      • drugi način določanja minimuma in maximuma je z drugim odvodom:
        • kar pomeni, da prvi odvod še enkrat odvajamo.
        • Nato v x-e tega odvoda vstavimo izračunani x. Če je rezultat:
          • pozitiven, potem je tam minimum
          • negativen, potem je tam maksimum (ravno kontra, kot bi bilo logično)
          • nič, potem tam ni ekstrema
        • Nato izračunamo še y-e in zapišemo točke.

     

    NEENAČBE

      • Pri razreševanju neenačb višjih stopenj (to so polinomske neenačbe), najprej vse člene prenesemo na eno stran, na drugi pa ostane nič.
      • Ko levo stran (če smo vse prenesli na levo stran) uredimo, jo še enkrat prepišemo in enačimo z nič ter izračunamo ničle.
      • Te ničle vstavimo na x-os in določimo predznake polinoma.
      • Nato nam znak za neenakost pove, ali so rešitve tam, kjer je plus ali tam, kjer je minus. Prav tako nam znak za neenakost določi obliko oklepajev:
        • Če je znak večje ali enako 0 ali manjše ali enako 0, potem imajo ničle oglati oz. zaprti oklepaj, neskončno ima vedno okroglega oz. odprtega.
        • Če pa je znak za neenakost samo večji ali manjši od 0, potem so vsi oklepaji okrogli/odprti.

    KAJ VSE TOREJ MORAMO PREDELATI PRI POLINOMIH:

      • pri iskanju ničel dobimo nov način iskanja s Hornerjevim algoritmom
      • izrek o deljenju
      • deljenje polinomov
      • enakost polinomov
      • hornerja se uporablja za iskanje ničel, iskanje y pri danem x in za deljenje polinomov, če je q(x) linearni polinom
      • zapisati predpis za funkcijo 
      • narisati graf iz različno podanih oblik polinoma in uporabo absolutne vrednosti
      • izračunati presečišča funkcij
      • reševati neenačbe
      • določiti definicijsko območje podane funkcije
      • dopolnjevati do popolnega kvadrata
      • določiti stopnjo, vodilni člen in koeficient ter prosti člen

    Gradivo za snov POLINOMI:

      • Knjiga Matzapiski: 281-301
      • Knjiga Matematični zapiski: 176-194
      • V knjigi in eknjigi Maturitetni zapiski95-113
      • Če knjige nimaš, si lahko pomagaš z zapiski na spletni strani, naloge pa poišči v zvezku in drugih knjigah :)

     

     

     

    crte

    2 POLINOMI

    OdpriZapiske 

         

    POLINOMI - teorija

    V teh zapiskih je zapisana teorija s kratkimi primeri, v knjigi Matzapiski pa je dodanih še veliko podrobno rešenih nalog za lažje samostojno učenje.

     

     

     

    crte

    KoordinatniSistemi polinomi

    OdpriZapiske

         

    PRAZNI KOORDINATNI SISTEMI

    Za hitrejše risanje grafov polinoma.

    Za risanje grafa polinoma potrebujemo:

    • ničle
    • začetno vrednost
    • skico (obnašanje polinoma)

     

     

     

     crte

    KATALOG ZA MATURO

    V katalogu je napisano, kaj moramo znati za pisni del mature.

     

    Prejšnja snov: Kvadratna funkcija #4   I   Naslednja snov: Racionalna funkcija #6