VPRAŠANJA ZA USTNI DEL SPLOŠNE MATURE
osnovni in višji nivo
5 Naravna in cela števila
6 Liha in soda števila
7 Praštevila
12 Ulomki in racionalna števila
13 Ulomki in decimalna števila
14 Realna števila
Odgovore dobištukaj.
|
OSNOVNI NIVO SPLOŠNE MATURE
5 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA
Opiši množici ℕ in ℤ in ju predstavi na številski premici.
NARAVNA ŠTEVILA
- Naravna števila so števila s katerimi štejemo: ℕ={1,2,3,4,...}.
- 1 je naravno število.
- Vsako naravno število ima svojega nasledika n+1.
- Največjega naravnega števila ni.
- Naravna števila predstavimo na številski premici:
CELA ŠTEVILA
- Množico celih števil dobimo tako, da k množici naravnih števil dodamo 0 in negativna cela števila -1,-2,-3,...
- Število -n imenujemo nasprotno število k naravnemu številu n.
- ℤ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Naštej računske operacije v množici ℕ.
- Seštevanje in množenje
Definiraj odštevanje v množici ℤ.
Za poljubni celi števili a in b je razlika števil a-b tako celo število c, da je b+c=a.
Opiši vsaj tri lastnosti računskih operacij v množicah ℕ in ℤ.
- KOMUTATIVNOST SEŠTEVANJA IN MNOŽENJA: a+b=b+a in ab=ba
- ASOCIATIVNOST SEŠTEVANJA IN MNOŽENJA: (a+b)+c=a+(b+c) in (ab)c=a(bc)
- DISTRIBUTIVNOST: a(b+c)=ab+ac
- 1 JE ENOTA ZA MNOŽENJE, 0 PA ENOTA ZA SEŠTEVANJE
6 LIHA IN SODA ŠTEVILA
Definirajte soda in liha števila. Pokažite:
Pokaži, da je vsota dveh lihih števil sodo število (a).
Pokaži, da je kvadrat lihega števila liho število (b).
7 PRAŠTEVILA
Definirajte praštevilo in sestavljeno število. Naštej tri praštevila in tri sestavljena števila.
- Praštevilo je naravno število, ki ima točno dva delitelja, samega sebe in število 1. Npr.: 2, 3, 43
- Sestavljeno število je tisto število, ki ima več kot dva delitelja. Npr.: 6, 12, 44
- Število 1 ni ne praštevilo ne sestavljeno število!
Kaj je razcep naravnega števila na prafaktorje. Ali je razcep na prafaktorje enoličen? Koliko je praštevil?
Praštevil je neskončno mnogo.
Opiši enega izmed postopkov za preverjanje, ali je dano število praštevilo.
Glej zgornji primer razcepa števila na prafaktorje. Ker smo dobili več kot dva delitelja, je število 150 sestavljeno.
12 ULOMKI IN RACIONALNA ŠTEVILA
Kaj je ulomek? Kdaj dva ulomka predstavljata isto racionalno število?
Pojasni, kako ulomke seštevamo, množimo in delimo.
13 ULOMKI IN DECIMALNI ZAPIS
Kako iz decimalnega zapisa števila prepoznamo, da lahko to število zapišemo z ulomkom?
Če ima število končno število decimalk ali pa periodičen zapis decimalk.
Kako poljubnemu ulomku priredimo njegov decimalni zapis? Kateri ulomki imajo končen decimalni zapis?
Povej primer ulomka, ki ima končen decimalni zapis, in primer ulomka, ki ima neskončen decimalni zapis.
- Ulomki s končnim decimalnim zapisom: 3/4, 5/4, 13/100...
- Ulomki, ki imajo neskončen decimalni zapis: 1/3, 7/6, 13/3 ...
Povej primer periodičnega decimalnega števila in ga zapiši kot ulomek.
14 REALNA ŠTEVILA
Kdaj je število racionalno in kdaj iracionalno? Kako se razlikujeta njuna decimalna zapisa?
Naštej vsaj tri primere racionalnih števil in primer iracionalnega števila.
- Racionalna števila: 1/2, -3/4, 7/5 ...
- Iracionalno število: e, π, √3, √5 ...
Kako na številski premici predstavimo racionalno število?
- Racionalna števila rišemo s pomožno premico in uporabo Talesovega izreka.
- Primer kako narišemo 3/4: Najprej iz točke 0 narišemo pomožni poltrak, na katerem s šestilom odmerimo 4 enako dolge daljice. Nato narišemo premico skozi četrto točko na poltraku in število 1. K tej premici narišemo vzporednico skozi tretjo točko na poltraku. Število 3/4 predstavlja točka, ki je presečišče vzporednice in številske premice.
VIŠJI NIVO
5 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA
Opiši množici ℕ in ℤ in ju predstavi na številski premici.
NARAVNA ŠTEVILA
- Naravna števila so števila s katerimi štejemo: ℕ={1,2,3,4,...}.
- 1 je naravno število.
- Vsako naravno število ima svojega nasledika n+1.
- Največjega naravnega števila ni.
- Naravna števila predstavimo na številski premici:
CELA ŠTEVILA
- Množico celih števil dobimo tako, da k množici naravnih števil dodamo 0 in negativna cela števila -1,-2,-3,...
- Število -n imenujemo nasprotno število k naravnemu številu n.
- ℤ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Navedi vsaj 4 lastnosti računskih operacij v množicah ℕ in ℤ.
Kaj je matematična (popolna) indukcija. Razloži na primeru.
6 LIHA IN SODA ŠTEVILA
Definirajte soda in liha števila. Pokažite:
Pokaži, da je vsota dveh lihih števil sodo število (a).
Pokaži, da je kvadrat lihega števila liho število (b).
Pokaži, da je vsota dveh lihih števil deljiva s 4.
- 2n-1 + 2n+1 = 4n, kar je deljivo s 4
7 PRAŠTEVILA
Definirajte praštevilo in sestavljeno število. Naštej tri praštevila in tri sestavljena števila.
- Praštevilo je naravno število, ki ima točno dva delitelja, samega sebe in število 1. Npr.: 2, 3, 43
- Sestavljeno število je tisto število, ki ima več kot dva delitelja. Npr.: 6, 12, 44
- Število 1 ni ne praštevilo ne sestavljeno število!
Kaj je razcep naravnega števila na prafaktorje. Ali je razcep na prafaktorje enoličen?
Dokaži, da je praštevil neskončno mnogo.
- Evklidov dokaz z metodo zanikanja:
Recimo, da je praštevil končno, recimo n. Potem jih lahko po velikosti uredimo v končno zaporedje p1, p2, . . . , pn. Sestavimo število P = p1 ·p2 ·. . .·pn +1 in poiščemo njegove delitelje. Seveda sta delitelja 1 in samo število P, toda drugih ni, saj P ni večkratnik nobenega od naših praštevil p1, p2, . . . , pn. Zato je P praštevilo. Sestavili smo novo, večje praštevilo, kar je v nasprotju s predpostavko, da so praštevila le števila p1,p2,...,pn.
12 ULOMKI IN RACIONALNA ŠTEVILA
Kaj je ulomek? Kdaj dva ulomka predstavljata isto racionalno število?
Kako je definirana relacija ≤ v množici ℚ? Opiši vsaj dve lastnosti te relacije.
Pokaži, da za poljubni racionalni števili p in q, kjer je p<q, obstaja tako racionalno število r, da je p<r<q.
13 ULOMKI IN DECIMALNI ZAPIS
Kako iz decimalnega zapisa števila prepoznamo, da lahko to število zapišemo z ulomkom?
Če ima število končno število decimalk ali pa periodičen zapis decimalk.
Kako poljubnemu ulomku priredimo njegov decimalni zapis? Kako iz zapisa ulomka ugotovimo, ali ima končen decimalni zapis?
Podaj primer ulomka, ki ima končen decimalni zapis, in primer ulomka, ki ima neskončen decimalni zapis.
- Ulomki s končnim decimalnim zapisom: 3/4, 5/4, 13/100...
- Ulomki, ki imajo neskončen decimalni zapis: 1/3, 7/6, 13/3 ...
Podaj primer periodičnega decimalnega števila s periodo reda (dolžine) vsaj 2 in ga zapiši kot ulomek.
Ustrezajo zadnji trije primeri:
14 REALNA ŠTEVILA
Kdaj je število racionalno in kdaj iracionalno? Kako se razlikujeta njuna decimalna zapisa?
Naštej vsaj tri primere racionalnih števil in tri primere iracionalnega števila.
- Racionalna števila: 1/2, -3/4, 7/5 ...
- Iracionalno število: e, π, √3, √5 ...
Dokaži, da √2 ni racionalno število.