INTEGRALI ... USTNI DEL SPLOŠNE MATURE

 OSNOVNI NIVO SPLOŠNE MATURE

90 NEDOLOČEN INTEGRAL

Definiraj nedoločeni integral funkcije f. Povej pravili za integriranje vsote funkcij in za integriranje produkta funkcije s konstanto.

Izberi primera dveh funkcij in izračunaj nedoločeni integral vsote teh dveh funkcij.

• f(x)=3x+4 in g(x)=4x²-5x
• ∫(f(x) + g(x))dx = ∫(3x+4+4x²-5x)dx = ∫(4x²-2x+4)dx = 4x³/3-2x²/2+4x + C = 4x³/3-x²+4x + C

91 NEDOLOČENI INTEGRAL

Naj bodo a, b, k in r poljubna realna števila. Izračunaj:

• ∫(ax + b)dx = ax²/2 + bx +C
• ∫(x^r)dx (tako za r ≠ -1 in r = -1:
  • r ≠ -1: x^r+1/r+1 + C
  • r = -1: lnIxI + C
• ∫(asinx + bcosx)dx = -acosx + bsinx + C
• ∫1/sin²x dx = -cotx + C
• ∫e^kx dx = e^kx/k + C

92 DOLOČENI INTEGRAL

Skiciraj krivočrtni lik, ki ga na intervalu [a,b] omejujejo graf pozitivne zvezne funkcije f, abscisna os in premici x=a in x=b. Kako izračunamo ploščino tega krivočrtnega lika?

Integriramo funkcijo in v integral vstavimo najprej zgornjo mejo, nato odštejemo vstavljeno spodnjo mejo:

Naj se grafa zveznih funkcij f in g sekata pri x=a in x=b. Kako z določenim integralom izračunamo ploščino območja, ki ga na intervalu [a,b] omejujeta grafa funkcij f in g?

Naj bo f: ℝ→ℝ liha zvezna funkcija in a pozitivno število. Koliko je _-a∫^a f(x)dx? Ponazori s primerom. 

• _-a∫^a f(x)dx = 0
• Naj bo liha zvezna funkcija f(x)=x³  in a=1: 
• _-1∫¹ x³ dx = x⁴/4 _-1I¹ = 1⁴ - (-1)⁴ = 1 - 1 = 0

93 DOLOČENI INTEGRAL

Naj bo f: [a,b] → ℝ zvezna funkcija. Pojasni geometrijski pomen določenega integrala zvezne funkcije na intervalu [a,b].

Naj bo f: ℝ→ℝ zvezna funkcija in a, b in c taka realna števila, da je a < b < c. Izrazi vsoto _a∫^b f(x) dx + _b∫^c f(x) dx z enim določenim integralom.

• _a∫^b f(x) dx + _b∫^c f(x) dx = _a∫^c f(x) dx

Povej zvezo med določenim in nedoločenim integralom (Newton-Leibnizeva formula). S primerom ponazori zvezo med določnim in nedoločenim integralom.

S primerom ponazori zvezo med določnim in nedoločenim integralom.

Naj bo f(x)=x²+3. Izračunajmo ploščino lika na intervalu med [-1,3]:

• _-1∫³ (x²+3) dx = (x³/3 + 3x) _-1I³ = (3³/3 + 3*3) - ((-1)³/3 + 3(-1)) = (9 + 9) - (-1/3 - 3) = 18 + 10/3 = 64/3

VIŠJI NIVO SPLOŠNE MATURE

90 NEDOLOČEN INTEGRAL

Definiraj nedoločeni integral funkcije f. Povej pravili za integriranje vsote funkcij in za integriranje produkta funkcije s konstanto.

Izberi primera dveh funkcij in izračunaj nedoločeni integral vsote teh dveh funkcij.

• f(x)=3x+4 in g(x)=4x²-5x
• ∫(f(x) + g(x))dx = ∫(3x+4+4x²-5x)dx = ∫(4x²-2x+4)dx = 4x³/3-2x²/2+4x + C = 4x³/3-x²+4x + C

91 NEDOLOČENI INTEGRAL

Naj bodo a, b, k in r poljubna realna števila. Izračunaj:

• ∫(ax + b)dx = ax²/2 + bx +C
• ∫(x^r)dx (tako za r ≠ -1 in r = -1:
  • r ≠ -1: x^r+1/r+1 + C
  • r = -1: lnIxI + C
• ∫(asinx + bcosx)dx = -acosx + bsinx + C
• ∫1/sin²x dx = -cotx + C
• ∫e^kx dx = e^kx/k + C

92 DOLOČENI INTEGRAL

Skiciraj krivočrtni lik, ki ga na intervalu [a,b] omejujejo graf pozitivne zvezne funkcije f, abscisna os in premici x=a in x=b. Kako izračunamo ploščino tega krivočrtnega lika?

Integriramo funkcijo in v integral vstavimo najprej zgornjo mejo, nato odštejemo vstavljeno spodnjo mejo:

Naj se grafa zveznih funkcij f in g sekata pri x=a in x=b. Kako z določenim integralom izračunamo ploščino območja, ki ga na intervalu [a,b] omejujeta grafa funkcij f in g?

Naj bo f: ℝ→ℝ liha zvezna funkcija in a pozitivno število. Koliko je _-a∫^a f(x)dx? Ponazori s primerom. 

• _-a∫^a f(x)dx = 0
• Naj bo liha zvezna funkcija f(x)=x³  in a=1: 
• _-1∫¹ x³ dx = x⁴/4 _-1I¹ = 1⁴ - (-1)⁴ = 1 - 1 = 0

93 DOLOČENI INTEGRAL

Naj bo f: [a,b] → ℝ zvezna funkcija. Pojasni geometrijski pomen določenega integrala zvezne funkcije na intervalu [a,b].

Naj bo f: ℝ→ℝ zvezna funkcija in a, b in c taka realna števila, da je a < b < c. Izrazi vsoto _a∫^b f(x) dx + _b∫^c f(x) dx z enim določenim integralom.

• _a∫^b f(x) dx + _b∫^c f(x) dx = _a∫^c f(x) dx

Povej zvezo med določenim in nedoločenim integralom (Newton-Leibnizeva formula). S primerom ponazori zvezo med določnim in nedoločenim integralom.

S primerom ponazori zvezo med določnim in nedoločenim integralom.

Naj bo f(x)=x²+3. Izračunajmo ploščino lika na intervalu med [-1,3]:

• _-1∫³ (x²+3) dx = (x³/3 + 3x) _-1I³ = (3³/3 + 3*3) - ((-1)³/3 + 3(-1)) = (9 + 9) - (-1/3 - 3) = 18 + 10/3 = 64/3

Navedi in pojasni formulo za prostornino rotacijskega telesa.

Na primerih razloži uvedbo nove spremenljivke pri računanju nedoločenega in določenega integrala.

Zapiši formulo za integracijo po delih (»per partes«).

Predhodni odgovori za ustni del mature so: odvodi

Naslednji odgovori za ustni del mature so: števila - naravna, cela, racionalna in realna