ODVODI ... USTNI DEL MATURE - matzapiski.si

ODVODI ... USTNI DEL MATURE

Odvodi ustni del splosna matura

 
ODVODI
Vprašanja in odgovori za ustni del splošne mature

 

OSNOVNI & VIŠJI NIVO SPLOŠNE MATURE

  • 86 odvodi
  • 87 Lokalni ekstremi
  • 88 Ekstremi
  • 89 Odvod

 

Odgovore dobiš tukaj.

 

crte
Pridruži se nam in pridno ponavljaj 
za redno snov in maturo :)

facebook      instagram draw logo

crte

USTNA VPRAŠANJA IN ODGOVORI ZA OSNOVNI NIVO SPLOŠNE MATURE

 

86 ODVODI

Definiraj odvod funkcije v dani točki in opiši njegov geometrijski pomen.

geometrijski pomen odvoda ustni del mature matzapiski

 

 

Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x0. Kako izračunamo enačbo tangente na graf funkcije f v točki x0?

  • Odvod funkcije f v točki x je enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije v točki T(x0,y0): f'(x0)=kt
  • Zato lahko zapišemo tangento na graf funkcije f v točki T(x0,y0): y-y0=kt(x-x0) 

 

Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x0 in naj bo f'(x0)≠0. Kako izračunamo enačbo normale na graf funkcije f v točki x0?

 

  • Odvod funkcije f v točki x je enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije v točki T(x0,y0): f'(x0)=kt
  • Smerni koeficient normale je enak: kn=-1/kt
  • Zato lahko zapišemo normalo na graf funkcije f v točki T(x0,y0): y-y0=kn(x-x0) 

 

 crte

87 LOKALNI EKSTREMI

Definiraj lokalni maksimum in lokalni minimum funkcije.

odvodi lokalni maksimum minimum ustni del mature mazapiski

 

Naj bo f: ℝ -> ℝ odvedljiva funkcija in x0 njena stacionarna točka. Kako s pomočjo odvoda ugotovimo, ali ima funkcija v točki x0 lokalni ekstrem?

  • en način: Izračunamo še drugi odvod in vstavimo x0:
    • f''(x0)>0 je v x0 lokalni minimum
    • f''(x0)<0 je v x0 lokalni maksimum
    • f''(x0)=0 je v x0 sedlo
  • drug način: s predznaki 1. odvoda:
    • na številsko os vstavimo ničle odvoda,
    • nato izračunamo predznake za prvi odvod:
      • poljubni x vstavimo v odvod, da dobimo prvi predznak,
      • nato glede na stopnjo ničel določimo še ostale predznake: ničle lihe stopnje spremenijo predznak, ničle sode stopnje ohranijo predznak
    • kjer je levo od ekstrema +, desno pa - je lokalni maksimum,
    • kjer pa je levo od ekstrema -, desno pa + je lokalni minimum

 

Povej primer funkcije, ki ima lokalni maksimum M=3 v točki x0=2.

  • f(x)=-3(x-2)2+3

 

Povej primer funkcije, ki nima lokalnih ekstremov.

  • f(x)=3x

 

crte

88 EKSTREMI

Definiraj globalni maksimum in globalni minimum funkcije.

 

  • Funkcija f ima v točki x0 globalni maksimum, če za vsak x∈A velja f(x)≤f(x0). To pomeni, da ima funcija na vsem definicijskem območju v točki x0 največjo vrednost.
  • Funkcija f ima v točki x0 globalni minimum, če za vsak x∈A velja f(x)≥f(x0). To pomeni, da ima funcija na vsem definicijskem območju v točki x0 najmanjšo vrednost.

 

Opiši postopek za iskanje globalnih ekstremov odvedljive funkcije, definirane na zaprtem intervalu.

odvodi globalni esktremi na zaprtem intervalu ustni del mature matzapiski

Povej primer funkcije, ki doseže globalni minimum m=-2.

 

  • f(x)=4(x+5)2-2 (kvadratna funkcija, ki je obrnjena navgor, zato mora biti a>0 in ima q=-2, p je poljuben)

 

Povej primer funkcije, ki doseže globalni minimum v vsaj dveh različnih točkah definicijskega območja.

 

  • polinom 4. stopnje, ki ima a>0:
  • p(x)=x4-x2 

 

crte

89 ODVOD

Naj graf odvedljive funkcije f seka abscisno os v točki T(x0,0). Povej definicijo kota α med grafom funkcije f in abscisno osjo v točki T. Kako izračunamo kot α, če poznamo f'(x0)?

  • Kot med grafom funkcije f in abscisno osjo je kot med tangento na krivuljo v točki, v kateri krivulja seka abscisno os, in pozitivnim poltrakom abscisne osi.
  • Kot izračunamo:
    • izračunamo točke, v katerih krivulja seka abscisno os: f(x)=0
    • izračunamo smerni koeficient tangente v presečišču: kt=f'(x0)
    • smerni koeficient tangente je enak tangensu kota, ki ga tangenta oklepa s pozitivnim poltrakom abscisne osi: f'(x0)=tanφ (če je kot negativen, prištejemo 180°)

 

Naj se grafa odvedljivih funkcij f in g sekata v točki T(x0,y0). Povej definicijo kota φ med grafoma funkcij f in g v točki T. Kako izračunamo kot φ, če poznamo f'(x0) in g'(x0)? Kdaj sta grafa pravokotna?

 

  • Kot med krivuljama y=f(x) in y=g(x) je kot med tangentama na krivulji v točki, v kateri se krivulji sekata.
  • Kot izračunamo takole:
    • izračunamo presečišče krivulj f(x)=g(x)
    • nato obe funkciji odvajamo in izračunamo smerna koeficienta tangent na krivulji v njunem presečišču
      • k1=f'(x0)
      • k2=f'(x0)
    • nato izračunamo kot po formuli:

kot med grafoma funkcij odvodi matzapiski

  • če je imenovalec enak 0, takrat je kot 90°, grafa sta pravokotna.

 

Povej primer odvedljive funkcije f: ℝ -> ℝ, katere graf seka abscisno os v točki T(1,0) pod kotom 45°.

  • f(x)=3x2/2-2x+1/2

 

 

crte

USTNA VPRAŠANJA IN ODGOVORI ZA VIŠJI NIVO SPLOŠNE MATURE

 

86 ODVODI

Definiraj odvod funkcije v dani točki in opiši njegov geometrijski pomen.

geometrijski pomen odvoda ustni del mature matzapiski

 

 

Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x0. Kako izračunamo enačbo tangente na graf funkcije f v točki x0?

  • Odvod funkcije f v točki x je enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije v točki T(x0,y0): f'(x0)=kt
  • Zato lahko zapišemo tangento na graf funkcije f v točki T(x0,y0): y-y0=kt(x-x0) 

 

Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x0 in naj bo f'(x0)≠0. Kako izračunamo enačbo normale na graf funkcije f v točki x0?  

  • Odvod funkcije f v točki x je enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije v točki T(x0,y0): f'(x0)=kt
  • Smerni koeficient normale je enak: kn=-1/kt
  • Zato lahko zapišemo normalo na graf funkcije f v točki T(x0,y0): y-y0=kn(x-x0) 

 

crte 

87 LOKALNI EKSTREMI

Definiraj lokalni maksimum in lokalni minimum funkcije.

odvodi lokalni maksimum minimum ustni del mature mazapiski

 

Naj bo f: ℝ -> ℝ odvedljiva funkcija in x0 njena stacionarna točka. Kako s pomočjo PRVEGA odvoda ugotovimo, ali ima funkcija v točki x0 lokalni ekstrem?

  • s predznaki 1. odvoda:
    • na številsko os vstavimo ničle odvoda,
    • nato izračunamo predznake za prvi odvod:
      • poljubni x vstavimo v odvod, da dobimo prvi predznak,
      • nato glede na stopnjo ničel določimo še ostale predznake: ničle lihe stopnje spremenijo predznak, ničle sode stopnje ohranijo predznak
    • kjer je levo od ekstrema +, desno pa - je lokalni maksimum,
    • kjer pa je levo od ekstrema -, desno pa + je lokalni minimum

    •  

    Naj bo f: ℝ -> ℝ dvakrat odvedljiva funkcija in x0 njena stacionarna točka. Kako s pomočjo DRUGEGA odvoda ugotovimo, ali ima funkcija v točki x0 lokalni ekstrem?

    • Izračunamo drugi odvod in vstavimo x0:
      • f''(x0)>0 je v x0 lokalni minimum
      • f''(x0)<0 je v x0 lokalni maksimum
      • f''(x0)=0 je v x0 sedlo

      

    crte

    88 EKSTREMI

    Definiraj globalni maksimum in globalni minimum funkcije.

     

    • Funkcija f ima v točki x0 globalni maksimum, če za vsak x∈A velja f(x)≤f(x0). To pomeni, da ima funcija na vsem definicijskem območju v točki x0 največjo vrednost.
    • Funkcija f ima v točki x0 globalni minimum, če za vsak x∈A velja f(x)≥f(x0). To pomeni, da ima funcija na vsem definicijskem območju v točki x0 najmanjšo vrednost.

     

    Opiši postopek za iskanje globalnih ekstremov odvedljive funkcije, definirane na zaprtem intervalu.

    odvodi globalni esktremi na zaprtem intervalu ustni del mature matzapiski

    Povej primer funkcije, katere globalni minimum je enak njenemu globalnemu maksimumu.

    • Konstantna funkcija na intervalu I, npr: vodoravna premica: f(x)=5 na poljubnem intervalu, npr. [2,7]

     

    Povej primer omejene funkcije, ki nima globalnega maksimuma.

    • če poznaš odgovor, sodeluj in pošlji odgovor naTa e-poštni naslov je zaščiten proti smetenju. Za ogled potrebujete Javascript, da si jo ogledate.

     

     crte

    89 ODVOD

    Naj graf odvedljive funkcije f seka abscisno os v točki T(x0,0). Povej definicijo kota α med grafom funkcije f in abscisno osjo v točki T. Kako izračunamo kot α, če poznamo f'(x0)?

    • Kot med grafom funkcije f in abscisno osjo je kot med tangento na krivuljo v točki, v kateri krivulja seka abscisno os, in pozitivnim poltrakom abscisne osi.
    • Kot izračunamo:
      • izračunamo točke, v katerih krivulja seka abscisno os: f(x)=0
      • izračunamo smerni koeficient tangente v presečišču: kt=f'(x0)
      • smerni koeficient tangente je enak tangensu kota, ki ga tangenta oklepa s pozitivnim poltrakom abscisne osi: f'(x0)=tanφ (če je kot negativen, prištejemo 180°)

     

    Naj graf odvedljive funkcije f seka ordinatno os v točki T(0,y0). Povej definicijo kota β med grafom funkcije f in ordinatno osjo v točki T. Kako izračunamo kot β, če poznamo f'(0)?

     

    • Kot med grafom funkcije f in ordinatno osjo je kot med tangento na krivuljo v točki, v kateri krivulja seka ordinatno os, in pozitivnim poltrakom ordinatne osi. 
    • Kot izračunamo: 
      • izračunamo smerni koeficient tangente v presečišču grafa z ordinatno osjo: kt=f'(0) 
      • smerni koeficient tangente je enak tangensu kota, ki ga tangenta oklepa s pozitivnim poltrakom abscisne osi: f'(x0)=tanφ (če je kot negativen, prištejemo 180°)
      • kot β izračunamo:
        • β = 90°- φ (če je φ<90°)
        • β = φ - 90° (če je φ>90°)

     

     

    Naj se grafa odvedljivih funkcij f in g sekata v točki T(x0,y0). Povej definicijo kota φ med grafoma funkcij f in g v točki T. Kako izračunamo kot φ, če poznamo f'(x0) in g'(x0)? Pri tem upoštevajte vse možne situacije.Kdaj sta grafa pravokotna?

    • Kot med krivuljama y=f(x) in y=g(x) je kot med tangentama na krivulji v točki, v kateri se krivulji sekata.
    • Kot izračunamo takole:
      • izračunamo presečišče krivulj f(x)=g(x)
      • nato obe funkciji odvajamo in izračunamo smerna koeficienta tangent na krivulji v njunem presečišču
        • k1=f'(x0)
        • k2=f'(x0)
      • nato izračunamo kot po formuli:

    kot med grafoma funkcij odvodi matzapiski

     

      • če je imenovalec enak 0, takrat je kot 90°, grafa sta pravokotna.
      • če je števec enak 0, takrat je kot 0°, tangenti na grafa sta istoležni.

     

     

    crte

    Predhodni odgovori za ustni del mature so: kotne funkcije

    Naslednji odgovori za ustni del mature so: integrali