|
|
|
OSNOVNI NIVO
70 FUNKCIJA SINUS
Definiraj funkcijo sinus.
- Kot x ima vrh v koordinatnem izhodišču, en krak kota leži na pozitivnem delu abscisne osi, drugi krak je gibljivi krak kota.
- sinx je ordinata točke (y), v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču.
Koliko je osnovna perioda funkcije sinus? Povejte vse ničle funkcije sinus.
- Osnovna perioda je 2π
- Ničle: x=kπ, k ∈ Z
V katerih točkah ima funkcija sinus maksimum in v katerih minimum?
- maksimumi so pri x=π/2 + 2kπ, k ∈ Z in imajo vrednost 1.
- minimumi so pri x=3π/2 + 2kπ, k ∈ Z in imajo vrednost -1.
Narišite graf funkcije sinus.
71 FUNKCIJA KOSINUS
Definirajte funkcijo kosinus.
- Kot x ima vrh v koordinatnem izhodišču, en krak kota leži na pozitivnem delu abscisne osi, drugi krak je gibljivi krak kota.
- cosx je abscica točke (x), v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču.
Koliko je osnovna perioda funkcije kosinus? Povejte vse ničle funkcije kosinus.
- Osnovna perioda je 2π
- Ničle: x=π/2 + kπ, k ∈ Z
V katerih točkah ima funkcija kosinus maksimum in v katerih minimum?
- maksimumi so pri x=2kπ, k ∈ Z in imajo vrednost 1.
- minimumi so pri x=π + 2kπ, k ∈ Z in imajo vrednost -1.
Narišite graf funkcije kosinus.
72 FUNKCIJA TANGENS
Definirajte funkcijo tangens.
- Kot x ima vrh v koordinatnem izhodišču, en krak kota leži na pozitivnem delu abscisne osi, drugi krak je gibljivi krak kota.
- tanx je ordinata točke (y), v kateri nosilka gibljivega kraka kota seka tangento na enotsko krožnico v točki (1,0).
Povejte definicijsko območje funkcije tangens.
- Definirana je povsod razen v polih:
- Df = R-﹛poli﹜= R-﹛π/2 + kπ, k ∈ Z﹜
Koliko je osnovna perioda funkcije tangens? Povejte vse ničle funkcije tangens.
- Osnovna perioda je π
- Ničle: x=kπ, k ∈ Z
Narišite graf funkcije tangens.
73 KOTNE FUNKCIJE
Za vsako kotno funkcijo (sinus, kosinus, tangens in kotangens) povejte, ali je soda oziroma liha.
- sinus, tangens in kotangens so lihe funkcije
- kosinus je soda funkcija
Utemeljite odgovore iz prvega vprašanja.
- sinus je liha funkcija, saj velja sin(-x)=-sinx
- tangens je liha funkcija, saj velja tan(-x)=-tanx
- kotangens je liha funkcija, saj velja cot(-x)=-cotx
- kosinus je soda funkcija, saj velja cos(-x)=cosx
Za vsako kotno funkcijo f (sinus, kosinus, tangens ali kotangens) povejte zvezo med f(π-x) in f(x) ter zvezo med f(π+x) in f(x) za vsak x iz definicijskega območja funkcije f:
DRUGI KVADRANT:
- sin(π-x)=sinx
- cos(π-x)=-cosx
- tan(π-x)=-tanx
- cot(π-x)=-cotx
TRETJI KVADRANT:
- sin(π+x)=-sinx
- cos(π+x)=-cosx
- tan(π+x)=tanx
- cot(π+x)=cotx
74 KOTNE FUNKCIJE V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU
Naj bo α ostri kot v danem pravokotnem trikotniku. Definirajte sinus, kosinus, tangens in kotangens kota α.
- sinα = nasprotna kateta / hipotenuza = a/c
- cosα = priležna kateta / hipotenuza = b/c
- tanα = nasprotna kateta / priležna kateta = a/b
- cotα = priležna kateta / nasprotna kateta = b/a
Naj bo α poljuben kot, 0 < α < π/2. Povejte osnovno zvezo med sinα in cosα ter jo dokažite.
- a2 + b2 = c2 /: c2
- a2/c2 + b2/c2 = 1
- sin2α + cos2α = 1
Povejte še vsaj štiri zveze med kotnimi funkcijami v pravokotnem trikotniku.
75 KOTNE FUNKCIJE
Povejte adicijska izreka za funkciji sinus in kosinus.
- sin (x+y) = sinxcosy + cosxsiny
- sin (x-y) = sinxcosy - cosxsiny
- cos (x+y) = cosxcosy - sinxsiny
- cos (x-y) = cosxcosy + sinxsiny
Izrazite sin2x in cos2x s sinx in cosx. Eno od formul dokažite.
- sin2x = 2sinxcosx
- cos2x = cos2x - sin2x
- dokaz za sin2x = sin (x+x) = sinxcosx + cosxsinx = 2sinxcosx
Povejte primer enačbe s kotnimi funkcijami, ki vsebuje sin(2x) ali cos(2x). Razložite potek reševanja.
- sin2x=1
- 2x=π/2 + 2kπ, k ∈ Z /:2
- x=π/4 + kπ, k ∈ Z
75 KOTNE FUNKCIJE
V isti koordinatni sistem narišite grafa funkcij sinus in kosinus.
Povejte vsaj dve lastnosti funkcij, ki sta skupni funkcijama sinus in kosinus.
- sta periodični funkciji, s periodo 2π
- definicijsko območje je Df=R
- zaloga vrednosti je Zf=[ -1,1 ]
Povejte vsaj dve lastnosti funkcij, v katerih se funkciji sinus in kosinus razlikujeta.
- Ničle ima sinus pri: x=kπ, k ∈ Z, kosinus pa: x=π/2 + kπ, k ∈ Z
- Maksimume ima sinus pri: x=π/2 + 2kπ, k ∈ Z, kosinus pa: x=2kπ, k ∈ Z
Izračunajte vsa presečišča grafov funkcij sinus in kosinus.
VIŠJI NIVO
Večina vprašanj je enaka osnovnemu nivoju. Odgovori še na ostala vprašanja .
Predhodni odgovori za ustni del mature so: eksponentna funkcija
Naslednji odgovori za ustni del mature so: odvodi