KOTNE FUNKCIJE ... USTNI DEL MATURE - matzapiski.si

Kotne funkcije ustni del splosna matura

 
KOTNE FUNKCIJE 
Vprašanja in odgovori za ustni del splošne mature

 

OSNOVNI & VIŠJI NIVO SPLOŠNE MATURE
70 Funkcija sinus
71 Funkcija kosinus
72 Funkcija tangens
73 Kotne funkcije
74 Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku
75 Kotne funkcije
76 Kotne funkcije

 

Odgovore dobiš tukaj.

 

crte
Pridruži se nam in pridno ponavljaj 
za redno snov in maturo :)

facebook      instagram draw logo

crte

OSNOVNI NIVO

crte 

70 FUNKCIJA SINUS

 

Definiraj funkcijo sinus.

  • Kot x ima vrh v koordinatnem izhodišču, en krak kota leži na pozitivnem delu abscisne osi, drugi krak je gibljivi krak kota.
  • sinx je ordinata točke (y), v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču.

 sinus enotska kroznica kotne funkcije

Koliko je osnovna perioda funkcije sinus? Povejte vse ničle funkcije sinus. 

  • Osnovna perioda je 2π
  • Ničle: x=kπ, k ∈ Z

V katerih točkah ima funkcija sinus maksimum in v katerih minimum? 

  • maksimumi so pri x=π/2 + 2kπ, k ∈ Z in imajo vrednost 1.
  • minimumi so pri x=3π/2 + 2kπ, k ∈ Z in imajo vrednost -1.

Narišite graf funkcije sinus.

 graf sinus kotne funkcije

 crte

71 FUNKCIJA KOSINUS

 

Definirajte funkcijo kosinus.

  • Kot x ima vrh v koordinatnem izhodišču, en krak kota leži na pozitivnem delu abscisne osi, drugi krak je gibljivi krak kota.
  • cosx je abscica točke (x), v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču.
kosinus enotska kroznica kotne funkcije matzapiski.si

Koliko je osnovna perioda funkcije kosinus? Povejte vse ničle funkcije kosinus. 
  • Osnovna perioda je 2π
  • Ničle: x=π/2 + kπ, k ∈ Z
 
 
V katerih točkah ima funkcija kosinus maksimum in v katerih minimum? 
  • maksimumi so pri x=2kπ, k ∈ Z in imajo vrednost 1.
  • minimumi so pri x=π + 2kπ, k ∈ Z in imajo vrednost -1.
 
 
Narišite graf funkcije kosinus.

graf funkcije kosinus kotne funkcije matzapiski.si

 

crte

72 FUNKCIJA TANGENS

 

Definirajte funkcijo tangens.

  • Kot x ima vrh v koordinatnem izhodišču, en krak kota leži na pozitivnem delu abscisne osi, drugi krak je gibljivi krak kota.
  • tanx je ordinata točke (y), v kateri nosilka gibljivega kraka kota seka tangento na enotsko krožnico v točki (1,0).
tangens enotska kroznica matzapiski.si

Povejte definicijsko območje funkcije tangens.
  • Definirana je povsod razen v polih:
  • Df = R-﹛poli﹜= R-﹛π/2 + kπ, k ∈ Z﹜

Koliko je osnovna perioda funkcije tangens? Povejte vse ničle funkcije tangens. 
  • Osnovna perioda je π
  • Ničle: x=kπ, k ∈ Z

 

Narišite graf funkcije tangens.

 graf tangens kotne funkcije matzapiski.si

 

 

crte

73 KOTNE FUNKCIJE

 

Za vsako kotno funkcijo (sinus, kosinus, tangens in kotangens) povejte, ali je soda oziroma liha.

  • sinus, tangens in kotangens so lihe funkcije
  • kosinus je soda funkcija

Utemeljite odgovore iz prvega vprašanja.

  • sinus je liha funkcija, saj velja sin(-x)=-sinx
  • tangens je liha funkcija, saj velja tan(-x)=-tanx
  • kotangens je liha funkcija, saj velja cot(-x)=-cotx
  • kosinus je soda funkcija, saj velja cos(-x)=cosx

 

Za vsako kotno funkcijo f (sinus, kosinus, tangens ali kotangens) povejte zvezo med f(π-x) in f(x) ter zvezo med f(π+x) in f(x) za vsak x iz definicijskega območja funkcije f:

DRUGI KVADRANT:

  • sin(π-x)=sinx
  • cos(π-x)=-cosx
  • tan(π-x)=-tanx
  • cot(π-x)=-cotx

TRETJI KVADRANT:

  • sin(π+x)=-sinx
  • cos(π+x)=-cosx
  • tan(π+x)=tanx
  • cot(π+x)=cotx

crte

74 KOTNE FUNKCIJE V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU 

 

Naj bo α ostri kot v danem pravokotnem trikotniku. Definirajte sinus, kosinus, tangens in kotangens kota α.

pravokotni trikotnik

  • sinα = nasprotna kateta / hipotenuza = a/c
  • cosα = priležna kateta / hipotenuza = b/c
  • tanα = nasprotna kateta / priležna kateta = a/b
  • cotα = priležna kateta / nasprotna kateta = b/a
 

Naj bo α poljuben kot, 0 < α < π/2. Povejte osnovno zvezo med sinα in cosα ter jo dokažite.

  • a2 + b2 = c2 /: c2
  • a2/c2 + b2/c2 = 1
  • sin2α + cos2α = 1

 

Povejte še vsaj štiri zveze med kotnimi funkcijami v pravokotnem trikotniku.

15 zveze matzapiski vse

 

 

crte
 

75 KOTNE FUNKCIJE

Povejte adicijska izreka za funkciji sinus in kosinus.

  • sin (x+y) = sinxcosy + cosxsiny
  • sin (x-y) = sinxcosy - cosxsiny
  • cos (x+y) = cosxcosy - sinxsiny
  • cos (x-y) = cosxcosy + sinxsiny

 

Izrazite sin2x in cos2x s sinx in cosx. Eno od formul dokažite.

  • sin2x = 2sinxcosx
  • cos2x = cos2x - sin2x
  • dokaz za sin2x = sin (x+x) = sinxcosx + cosxsinx = 2sinxcosx

 

Povejte primer enačbe s kotnimi funkcijami, ki vsebuje sin(2x) ali cos(2x). Razložite potek reševanja.

  • sin2x=1
  • 2x=π/2 + 2kπ, k ∈ Z /:2
  • x=π/4 + kπ, k ∈ Z

crte

75 KOTNE FUNKCIJE

 

V isti koordinatni sistem narišite grafa funkcij sinus in kosinus.

grafa funkcij sinus in kosinus

 

Povejte vsaj dve lastnosti funkcij, ki sta skupni funkcijama sinus in kosinus.

  • sta periodični funkciji, s periodo 2π
  • definicijsko območje je Df=R
  • zaloga vrednosti je Zf=[ -1,1 ]

 

Povejte vsaj dve lastnosti funkcij, v katerih se funkciji sinus in kosinus razlikujeta. 

  • Ničle ima sinus pri: x=kπ, k ∈ Z, kosinus pa: x=π/2 + kπ, k ∈ Z
  • Maksimume ima sinus pri: x=π/2 + 2kπ, k ∈ Z, kosinus pa: x=2kπ, k ∈ Z

 

Izračunajte vsa presečišča grafov funkcij sinus in kosinus.

presecisca med grafoma funkcij sinus in kosinus

 

 

crte

VIŠJI NIVO

Večina vprašanj je enaka osnovnemu nivoju. Odgovori še na ostala vprašanja .

 

 

crte

Predhodni odgovori za ustni del mature so: eksponentna funkcija

Naslednji odgovori za ustni del mature so: odvodi